3.34 \(\int \frac{A+C x^2}{(a+b x)^{3/2} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=867 \[ -\frac{2 \sqrt{d g-c h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x} \sqrt{-\frac{(d e-c f) (g+h x)}{(f g-e h) (c+d x)}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d g-c h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x}}\right )|\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(b e-a f) (d g-c h)}\right ) \left (C a^2+A b^2\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}} \sqrt{g+h x}}-\frac{2 \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x} \left (C a^2+A b^2\right )}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}+\frac{2 d \sqrt{a+b x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x} \left (C a^2+A b^2\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{c+d x}}-\frac{2 \left (-C d a^2+2 b c C a+A b^2 d\right ) \sqrt{\frac{(b e-a f) (c+d x)}{(d e-c f) (a+b x)}} \sqrt{g+h x} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b g-a h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x}}\right ),-\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(d e-c f) (b g-a h)}\right )}{b^2 (b c-a d) \sqrt{b g-a h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x} \sqrt{-\frac{(b e-a f) (g+h x)}{(f g-e h) (a+b x)}}}+\frac{2 C \sqrt{c h-d g} (a+b x) \sqrt{\frac{(b g-a h) (c+d x)}{(d g-c h) (a+b x)}} \sqrt{\frac{(b g-a h) (e+f x)}{(f g-e h) (a+b x)}} \Pi \left (-\frac{b (d g-c h)}{(b c-a d) h};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b c-a d} \sqrt{g+h x}}{\sqrt{c h-d g} \sqrt{a+b x}}\right )|\frac{(b e-a f) (d g-c h)}{(b c-a d) (f g-e h)}\right )}{b^2 \sqrt{b c-a d} h \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}} \]

[Out]

(2*(A*b^2 + a^2*C)*d*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*Sqrt[c
+ d*x]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*S
qrt[a + b*x]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[d*g - c*h]*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[-(((d*e - c*f)*(g + h*x)
)/((f*g - e*h)*(c + d*x)))]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d*g - c*h]*Sqrt[e + f*x])/(Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x])],
((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))])/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*Sqrt[((d*e - c*f
)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))]*Sqrt[g + h*x]) - (2*(2*a*b*c*C + A*b^2*d - a^2*C*d)*Sqrt[((b*e - a*f)*(c
+ d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*Sqrt[g + h*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[e + f*x])/(Sqrt[f*g - e
*h]*Sqrt[a + b*x])], -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))])/(b^2*(b*c - a*d)*Sqrt[b*g - a*h]
*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))]) + (2*C*Sqrt[-(d*g) +
c*h]*(a + b*x)*Sqrt[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*Sqrt[((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)
*(a + b*x))]*EllipticPi[-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), ArcSin[(Sqrt[b*c - a*d]*Sqrt[g + h*x])/(Sqrt[-(d*g
) + c*h]*Sqrt[a + b*x])], ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))])/(b^2*Sqrt[b*c - a*d]*h*Sqrt[c
+ d*x]*Sqrt[e + f*x])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.81305, antiderivative size = 867, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 9, number of rules used = 9, integrand size = 44, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.204, Rules used = {1605, 1602, 1598, 170, 419, 165, 537, 176, 424} \[ -\frac{2 \sqrt{d g-c h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x} \sqrt{-\frac{(d e-c f) (g+h x)}{(f g-e h) (c+d x)}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d g-c h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x}}\right )|\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(b e-a f) (d g-c h)}\right ) \left (C a^2+A b^2\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}} \sqrt{g+h x}}-\frac{2 \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x} \left (C a^2+A b^2\right )}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}+\frac{2 d \sqrt{a+b x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x} \left (C a^2+A b^2\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{c+d x}}-\frac{2 \left (-C d a^2+2 b c C a+A b^2 d\right ) \sqrt{\frac{(b e-a f) (c+d x)}{(d e-c f) (a+b x)}} \sqrt{g+h x} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b g-a h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x}}\right )|-\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(d e-c f) (b g-a h)}\right )}{b^2 (b c-a d) \sqrt{b g-a h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x} \sqrt{-\frac{(b e-a f) (g+h x)}{(f g-e h) (a+b x)}}}+\frac{2 C \sqrt{c h-d g} (a+b x) \sqrt{\frac{(b g-a h) (c+d x)}{(d g-c h) (a+b x)}} \sqrt{\frac{(b g-a h) (e+f x)}{(f g-e h) (a+b x)}} \Pi \left (-\frac{b (d g-c h)}{(b c-a d) h};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b c-a d} \sqrt{g+h x}}{\sqrt{c h-d g} \sqrt{a+b x}}\right )|\frac{(b e-a f) (d g-c h)}{(b c-a d) (f g-e h)}\right )}{b^2 \sqrt{b c-a d} h \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + C*x^2)/((a + b*x)^(3/2)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]),x]

[Out]

(2*(A*b^2 + a^2*C)*d*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*Sqrt[c
+ d*x]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*S
qrt[a + b*x]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[d*g - c*h]*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[-(((d*e - c*f)*(g + h*x)
)/((f*g - e*h)*(c + d*x)))]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d*g - c*h]*Sqrt[e + f*x])/(Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x])],
((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))])/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*Sqrt[((d*e - c*f
)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))]*Sqrt[g + h*x]) - (2*(2*a*b*c*C + A*b^2*d - a^2*C*d)*Sqrt[((b*e - a*f)*(c
+ d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*Sqrt[g + h*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[e + f*x])/(Sqrt[f*g - e
*h]*Sqrt[a + b*x])], -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))])/(b^2*(b*c - a*d)*Sqrt[b*g - a*h]
*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))]) + (2*C*Sqrt[-(d*g) +
c*h]*(a + b*x)*Sqrt[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*Sqrt[((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)
*(a + b*x))]*EllipticPi[-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), ArcSin[(Sqrt[b*c - a*d]*Sqrt[g + h*x])/(Sqrt[-(d*g
) + c*h]*Sqrt[a + b*x])], ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))])/(b^2*Sqrt[b*c - a*d]*h*Sqrt[c
+ d*x]*Sqrt[e + f*x])

Rule 1605

Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((A_.) + (C_.)*(x_)^2))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt
[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 + a^2*C)*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g
+ h*x])/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)), x] - Dist[1/(2*(m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g -
a*h)), Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[A*(2*a^2*d*f*h*(m + 1) - 2*a*b
*(m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(2*m + 3)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) + a*C*(a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2
*b*c*e*g*(m + 1)) - 2*(A*b*(a*d*f*h*(m + 1) - b*(m + 2)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - C*(a^2*(d*f*g + d*e*h + c*f
*h) - b^2*c*e*g*(m + 1) + a*b*(m + 1)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))*x + d*f*h*(2*m + 5)*(A*b^2 + a^2*C)*x^2, x], x
], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, C}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

Rule 1602

Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*
(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(C*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(b*f*h*Sqrt[c
+ d*x]), x] + (Dist[1/(2*b*d*f*h), Int[(1*Simp[2*A*b*d*f*h - C*(b*d*e*g + a*c*f*h) + (2*b*B*d*f*h - C*(a*d*f*
h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*x, x])/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] + Dis
t[(C*(d*e - c*f)*(d*g - c*h))/(2*b*d*f*h), Int[Sqrt[a + b*x]/((c + d*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x]
, x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, C}, x]

Rule 1598

Int[((A_.) + (B_.)*(x_))/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.
) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h
*x]), x], x] + Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*x]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, h, A, B}, x]

Rule 170

Int[1/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x
_Symbol] :> Dist[(2*Sqrt[g + h*x]*Sqrt[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/((f*g - e*h)*Sqrt[c +
d*x]*Sqrt[-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))]), Subst[Int[1/(Sqrt[1 + ((b*c - a*d)*x^2)/(d*e
- c*f)]*Sqrt[1 - ((b*g - a*h)*x^2)/(f*g - e*h)]), x], x, Sqrt[e + f*x]/Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
, e, f, g, h}, x]

Rule 419

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1*EllipticF[ArcSin[Rt[-(d/c),
2]*x], (b*c)/(a*d)])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] &
& GtQ[a, 0] &&  !(NegQ[b/a] && SimplerSqrtQ[-(b/a), -(d/c)])

Rule 165

Int[Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_S
ymbol] :> Dist[(2*(a + b*x)*Sqrt[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*Sqrt[((b*g - a*h)*(e + f*x))
/((f*g - e*h)*(a + b*x))])/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]), Subst[Int[1/((h - b*x^2)*Sqrt[1 + ((b*c - a*d)*x^2)/
(d*g - c*h)]*Sqrt[1 + ((b*e - a*f)*x^2)/(f*g - e*h)]), x], x, Sqrt[g + h*x]/Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 537

Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1*Ellipt
icPi[(b*c)/(a*d), ArcSin[Rt[-(d/c), 2]*x], (c*f)/(d*e)])/(a*Sqrt[c]*Sqrt[e]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f}, x] &&  !GtQ[d/c, 0] && GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0] &&  !( !GtQ[f/e, 0] && SimplerSqrtQ[-(f/e), -(d/c)
])

Rule 176

Int[Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(((a_.) + (b_.)*(x_))^(3/2)*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x
_Symbol] :> Dist[(-2*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))])/((b*e - a*f)*Sqrt
[g + h*x]*Sqrt[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]), Subst[Int[Sqrt[1 + ((b*c - a*d)*x^2)/(d*e -
c*f)]/Sqrt[1 - ((b*g - a*h)*x^2)/(f*g - e*h)], x], x, Sqrt[e + f*x]/Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, f, g, h}, x]

Rule 424

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a]*EllipticE[ArcSin[Rt[-(d/c)
, 2]*x], (b*c)/(a*d)])/(Sqrt[c]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] && GtQ[
a, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+C x^2}{(a+b x)^{3/2} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx &=-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}+\frac{\int \frac{-a (a A d f h-a C (d e g+c f g+c e h)+b (c C e g-A d f g-A d e h-A c f h))+\left (2 a^2 C (d f g+d e h+c f h)+b^2 (c C e g+A d f g+A d e h+A c f h)+a b (A d f h-C (d e g+c f g+c e h))\right ) x+2 \left (A b^2+a^2 C\right ) d f h x^2}{\sqrt{a+b x} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h)}\\ &=\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) d \sqrt{a+b x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{c+d x}}-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}+\frac{\int \frac{-2 d (a c C+A b d) f (b e-a f) h (b g-a h)+2 C d (b c-a d) f (b e-a f) h (b g-a h) x}{\sqrt{a+b x} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx}{2 b d (b c-a d) f (b e-a f) h (b g-a h)}+\frac{\left (\left (A b^2+a^2 C\right ) (d e-c f) (d g-c h)\right ) \int \frac{\sqrt{a+b x}}{(c+d x)^{3/2} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h)}\\ &=\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) d \sqrt{a+b x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{c+d x}}-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}+\frac{C \int \frac{\sqrt{a+b x}}{\sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx}{b^2}-\frac{\left (2 a b c C+A b^2 d-a^2 C d\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+b x} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}} \, dx}{b^2 (b c-a d)}-\frac{\left (2 \left (A b^2+a^2 C\right ) (d g-c h) \sqrt{a+b x} \sqrt{-\frac{(d e-c f) (g+h x)}{(f g-e h) (c+d x)}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{1+\frac{(-b c+a d) x^2}{b e-a f}}}{\sqrt{1-\frac{(d g-c h) x^2}{f g-e h}}} \, dx,x,\frac{\sqrt{e+f x}}{\sqrt{c+d x}}\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}} \sqrt{g+h x}}\\ &=\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) d \sqrt{a+b x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{c+d x}}-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{d g-c h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x} \sqrt{-\frac{(d e-c f) (g+h x)}{(f g-e h) (c+d x)}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d g-c h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x}}\right )|\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(b e-a f) (d g-c h)}\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}} \sqrt{g+h x}}+\frac{\left (2 C (a+b x) \sqrt{\frac{(b g-a h) (c+d x)}{(d g-c h) (a+b x)}} \sqrt{\frac{(b g-a h) (e+f x)}{(f g-e h) (a+b x)}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (h-b x^2\right ) \sqrt{1+\frac{(b c-a d) x^2}{d g-c h}} \sqrt{1+\frac{(b e-a f) x^2}{f g-e h}}} \, dx,x,\frac{\sqrt{g+h x}}{\sqrt{a+b x}}\right )}{b^2 \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}}-\frac{\left (2 \left (2 a b c C+A b^2 d-a^2 C d\right ) \sqrt{\frac{(b e-a f) (c+d x)}{(d e-c f) (a+b x)}} \sqrt{g+h x}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{1+\frac{(b c-a d) x^2}{d e-c f}} \sqrt{1-\frac{(b g-a h) x^2}{f g-e h}}} \, dx,x,\frac{\sqrt{e+f x}}{\sqrt{a+b x}}\right )}{b^2 (b c-a d) (f g-e h) \sqrt{c+d x} \sqrt{-\frac{(b e-a f) (g+h x)}{(f g-e h) (a+b x)}}}\\ &=\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) d \sqrt{a+b x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{c+d x}}-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} \sqrt{g+h x}}{(b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{a+b x}}-\frac{2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sqrt{d g-c h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x} \sqrt{-\frac{(d e-c f) (g+h x)}{(f g-e h) (c+d x)}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d g-c h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x}}\right )|\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(b e-a f) (d g-c h)}\right )}{b (b c-a d) (b e-a f) (b g-a h) \sqrt{\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}} \sqrt{g+h x}}-\frac{2 \left (2 a b c C+A b^2 d-a^2 C d\right ) \sqrt{\frac{(b e-a f) (c+d x)}{(d e-c f) (a+b x)}} \sqrt{g+h x} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b g-a h} \sqrt{e+f x}}{\sqrt{f g-e h} \sqrt{a+b x}}\right )|-\frac{(b c-a d) (f g-e h)}{(d e-c f) (b g-a h)}\right )}{b^2 (b c-a d) \sqrt{b g-a h} \sqrt{f g-e h} \sqrt{c+d x} \sqrt{-\frac{(b e-a f) (g+h x)}{(f g-e h) (a+b x)}}}+\frac{2 C \sqrt{-d g+c h} (a+b x) \sqrt{\frac{(b g-a h) (c+d x)}{(d g-c h) (a+b x)}} \sqrt{\frac{(b g-a h) (e+f x)}{(f g-e h) (a+b x)}} \Pi \left (-\frac{b (d g-c h)}{(b c-a d) h};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b c-a d} \sqrt{g+h x}}{\sqrt{-d g+c h} \sqrt{a+b x}}\right )|\frac{(b e-a f) (d g-c h)}{(b c-a d) (f g-e h)}\right )}{b^2 \sqrt{b c-a d} h \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 16.3632, size = 2103, normalized size = 2.43 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(A + C*x^2)/((a + b*x)^(3/2)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]),x]

[Out]

(-2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*Sqrt[a + b
*x]) + (2*(((-(A*b^2) - a^2*C)*(a + b*x)^(5/2)*(d + (b*c)/(a + b*x) - (a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e)/(a + b*x) -
(a*f)/(a + b*x))*(h + (b*g)/(a + b*x) - (a*h)/(a + b*x)))/(Sqrt[c + ((a + b*x)*(d - (a*d)/(a + b*x)))/b]*Sqrt[
e + ((a + b*x)*(f - (a*f)/(a + b*x)))/b]*Sqrt[g + ((a + b*x)*(h - (a*h)/(a + b*x)))/b]) + ((b*c - a*d)*(b*e -
a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(3/2)*Sqrt[(d + (b*c)/(a + b*x) - (a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e)/(a + b*x) - (a*f)/(a
+ b*x))*(h + (b*g)/(a + b*x) - (a*h)/(a + b*x))]*((A*b^2*Sqrt[((b*c - a*d)*(b*g - a*h)*(-(d/(-(b*c) + a*d)) +
(a + b*x)^(-1)))/(b*d*g - b*c*h)]*(-(f/(-(b*e) + a*f)) + (a + b*x)^(-1))*Sqrt[(-(h/(-(b*g) + a*h)) + (a + b*x)
^(-1))/(f/(-(b*e) + a*f) - h/(-(b*g) + a*h))]*(-(((b*d*g - b*c*h)*EllipticE[ArcSin[Sqrt[((b*e - a*f)*(h + (b*g
)/(a + b*x) - (a*h)/(a + b*x)))/(b*(-(f*g) + e*h))]], ((-(b*c) + a*d)*(-(f*g) + e*h))/((-(b*e) + a*f)*(-(d*g)
+ c*h))])/((b*c - a*d)*(b*g - a*h))) - (d*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((b*e - a*f)*(h + (b*g)/(a + b*x) - (a*h)/(a +
b*x)))/(b*(-(f*g) + e*h))]], ((-(b*c) + a*d)*(-(f*g) + e*h))/((-(b*e) + a*f)*(-(d*g) + c*h))])/(-(b*c) + a*d)
))/(Sqrt[(-(f/(-(b*e) + a*f)) + (a + b*x)^(-1))/(-(f/(-(b*e) + a*f)) + h/(-(b*g) + a*h))]*Sqrt[(d + (b*c - a*d
)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))*(h + (b*g - a*h)/(a + b*x))]) + (a^2*C*Sqrt[((b*c - a*d)*(b*g - a*h)*
(-(d/(-(b*c) + a*d)) + (a + b*x)^(-1)))/(b*d*g - b*c*h)]*(-(f/(-(b*e) + a*f)) + (a + b*x)^(-1))*Sqrt[(-(h/(-(b
*g) + a*h)) + (a + b*x)^(-1))/(f/(-(b*e) + a*f) - h/(-(b*g) + a*h))]*(-(((b*d*g - b*c*h)*EllipticE[ArcSin[Sqrt
[((b*e - a*f)*(h + (b*g)/(a + b*x) - (a*h)/(a + b*x)))/(b*(-(f*g) + e*h))]], ((-(b*c) + a*d)*(-(f*g) + e*h))/(
(-(b*e) + a*f)*(-(d*g) + c*h))])/((b*c - a*d)*(b*g - a*h))) - (d*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((b*e - a*f)*(h + (b*g)
/(a + b*x) - (a*h)/(a + b*x)))/(b*(-(f*g) + e*h))]], ((-(b*c) + a*d)*(-(f*g) + e*h))/((-(b*e) + a*f)*(-(d*g) +
c*h))])/(-(b*c) + a*d)))/(Sqrt[(-(f/(-(b*e) + a*f)) + (a + b*x)^(-1))/(-(f/(-(b*e) + a*f)) + h/(-(b*g) + a*h)
)]*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))*(h + (b*g - a*h)/(a + b*x))]) - (2*a*C*Sqrt[(-
(d/(-(b*c) + a*d)) + (a + b*x)^(-1))/(-(d/(-(b*c) + a*d)) + h/(-(b*g) + a*h))]*Sqrt[(-(f/(-(b*e) + a*f)) + (a
+ b*x)^(-1))/(-(f/(-(b*e) + a*f)) + h/(-(b*g) + a*h))]*(-(h/(-(b*g) + a*h)) + (a + b*x)^(-1))*EllipticF[ArcSin
[Sqrt[((-(b*e) + a*f)*(-h - (b*g)/(a + b*x) + (a*h)/(a + b*x)))/(b*(-(f*g) + e*h))]], ((-(b*c) + a*d)*(-(f*g)
+ e*h))/((-(b*e) + a*f)*(-(d*g) + c*h))])/(Sqrt[(-(h/(-(b*g) + a*h)) + (a + b*x)^(-1))/(f/(-(b*e) + a*f) - h/(
-(b*g) + a*h))]*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))*(h + (b*g - a*h)/(a + b*x))]) - (
C*(-(b*g) + a*h)*(-(f/(-(b*e) + a*f)) + h/(-(b*g) + a*h))*Sqrt[(-(d/(-(b*c) + a*d)) + (a + b*x)^(-1))/(-(d/(-(
b*c) + a*d)) + h/(-(b*g) + a*h))]*Sqrt[-(((-(f/(-(b*e) + a*f)) + (a + b*x)^(-1))*(-(h/(-(b*g) + a*h)) + (a + b
*x)^(-1)))/(-(f/(-(b*e) + a*f)) + h/(-(b*g) + a*h))^2)]*EllipticPi[-((-(b*f*g) + b*e*h)/((-(b*e) + a*f)*h)), A
rcSin[Sqrt[((-(b*e) + a*f)*(-h - (b*g)/(a + b*x) + (a*h)/(a + b*x)))/(b*(-(f*g) + e*h))]], ((-(b*c) + a*d)*(-(
f*g) + e*h))/((-(b*e) + a*f)*(-(d*g) + c*h))])/(h*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))
*(h + (b*g - a*h)/(a + b*x))])))/(Sqrt[c + ((a + b*x)*(d - (a*d)/(a + b*x)))/b]*Sqrt[e + ((a + b*x)*(f - (a*f)
/(a + b*x)))/b]*Sqrt[g + ((a + b*x)*(h - (a*h)/(a + b*x)))/b])))/(b^3*(-(b*c) + a*d)*(-(b*e) + a*f)*(-(b*g) +
a*h))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.178, size = 20597, normalized size = 23.8 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((C*x^2+A)/(b*x+a)^(3/2)/(d*x+c)^(1/2)/(f*x+e)^(1/2)/(h*x+g)^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{C x^{2} + A}{{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sqrt{d x + c} \sqrt{f x + e} \sqrt{h x + g}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((C*x^2+A)/(b*x+a)^(3/2)/(d*x+c)^(1/2)/(f*x+e)^(1/2)/(h*x+g)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((C*x^2 + A)/((b*x + a)^(3/2)*sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)*sqrt(h*x + g)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((C*x^2+A)/(b*x+a)^(3/2)/(d*x+c)^(1/2)/(f*x+e)^(1/2)/(h*x+g)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((C*x**2+A)/(b*x+a)**(3/2)/(d*x+c)**(1/2)/(f*x+e)**(1/2)/(h*x+g)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{C x^{2} + A}{{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sqrt{d x + c} \sqrt{f x + e} \sqrt{h x + g}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((C*x^2+A)/(b*x+a)^(3/2)/(d*x+c)^(1/2)/(f*x+e)^(1/2)/(h*x+g)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((C*x^2 + A)/((b*x + a)^(3/2)*sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)*sqrt(h*x + g)), x)